Risultati matematici come i teoremi di incompletezza dimostrano che le macchine non potranno mai sostituire un uomo nel gioco dell’imitazione.

Secondo alcuni studiosi, quali Lucas, filosofo della mente e Penrose, filosofo e fisico, alcuni risultati della logica matematica, come i teoremi di incompletezza di Gödel, dimostrano che la mente umana non può essere meccanizzabile. Più nello specifico, tali risultati, se traslati nel contesto del test di Turing, dimostrerebbero che esistono alcune cose che una macchina non può fare: ad esempio domande alle quali essa non può rispondere.

Lo stesso Turing, nel suo articolo del 1950, non mancò di far notare come un suo risultato del 1936 – strettamente connesso al risultato dell’incompletezza – attraverso una risposta negativa al problema della decisione, dimostrava che esistono cose che le macchine non sono in grado di fare, come, ad esempio, rispondere a una domanda specifica o a una classe di domande specifiche nel gioco dell’imitazione. In altri termini, attraverso l’incompletezza si scopre che le macchine hanno dei limiti invalicabili.

Ora, se questo è vero, è anche vero che da un simile risultato non si è logicamente giustificati a trarre la conclusione che gli esseri umani sono scevri da siffatte limitazioni. Secondo Turing, l’errore e anche l’incapacità di eseguire un compito è qualcosa alla quale è soggetto anche l’essere umano. Come se non bastasse “la nostra superiorità può essere sentita volta a volta in relazione alla specifica macchina sulla quale abbiamo riportato il nostro piccolo trionfo. Non ci sarebbe alcuna possibilità di trionfo simultaneo su tutte le macchine. In breve, quindi, ci possono essere uomini più abili di una qualsiasi macchina data, ma ci possono poi essere altre macchine più abili ancora, e così via” (Alan Turing, Macchine calcolatrici e intelligenza, cit., p. 135.).

In generale, al di là delle riflessioni di Turing sull’obiezione matematica, si può dire che il problema delle argomentazioni che invocano i teoremi di incompletezza è che sono tutte basate su un fraintendimento e su un uso illegittimo di questi. Ad esempio, come è stato fatto notare dal logico Torkel Franzén (T. Franzén, Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to its Use and Abuse, AK Peters, 2005.), l’argomento di Lucas del 1961, secondo il quale i teoremi di incompletezza dimostrano che una macchina, essendo l’esemplificazione concreta di un sistema formale, è in grado di catturare una proposizione vera ma non è in grado di dimostrarla, è totalmente scorretto. Infatti, il primo teorema di incompletezza asserisce che:

(G1) Ogni sistema formale coerente S in cui una certa quantità di aritmetica elementare può essere espressa è incompleto riguardo a certi enunciati dell’aritmetica elementare: “vi sono degli enunciati G_S in S che non possono né essere dimostrati né essere refutati”.

Il teorema di incompletezza non tira mai in ballo nozioni semantiche come quelle di verità o falsità: esso è un risultato genuinamente sintattico che riguarda i sistemi formali come l’aritmetica di Peano. Certamente Gödel, nel primo paragrafo del suo articolo del 1931, dà una prova dell’incompletezza in maniera del tutto informale, ma un argomento che tiri in ballo il risultato dell’incompletezza non può in alcun modo basarsi esclusivamente sulla prova informale: quest’ultima andrebbe vista piuttosto come un viatico, come una sorta di guida, di prova intuitiva. Come sostiene lo stesso Franzén, “uno dei più diffusi fraintendimenti sul primo teorema di incompletezza è che la dimostrazione che ne dà Gödel, quando applicata a un sistema coerente, mostra che l’enunciato gödeliano del sistema, il quale non può essere né dimostrato né refutato all’interno del sistema stesso, è vero” (Ibidem).

Proprio in questo genere di fraintendimento cade l’argomento del filosofo statunitense John Lucas. Egli, infatti, afferma, in un suo articolo del 1961 (John R. Lucas, Minds, Machines and Gödel, in “Philosophy”, XXXVI, (1961), pp. 112-127): “Il teorema di Gödel asserisce che in ogni sistema coerente abbastanza forte da produrre la semplice aritmetica c’è una formula – l’enunciato G_S appunto – che non può né essere dimostrato nel sistema, ma del quale noi possiamo vedere che è vero” (ibidem, p. 112). Quest’idea, purtroppo per Lucas, è del tutto assente sia nell’enunciato del primo teorema di incompletezza, sia nella dimostrazione che ci ha dato Gödel: infatti, non sappiamo che l’enunciato autoreferenziale G_S – il quale asserisce appunto “G_S non è dimostrabile in S” – è vero “a prescindere”; ciò che sappiamo è che è vera l’implicazione “se il sistema S è coerente, allora G_S è vero” (Torkel Franzen, Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to its Use and Abuse, cit., p. 117).

Qualcuno potrebbe obiettare che però, in fondo, sappiamo che l’enunciato gödeliano è vero ad esempio all’interno dell’aritmetica di Peano, perché sappiamo che quest’ultima è un sistema coerente. Questo è senz’altro corretto: infatti, ogni qual volta sappiamo che una teoria S è coerente, sappiamo anche che l’enunciato gödeliano è vero; d’altra parte – e questo è un’ulteriore punto debole delle obiezioni matematiche come quelle di Lucas – nei casi in cui abbiamo a che fare con sistemi di cui non abbiamo una dimostrazione di coerenza, certamente non possiamo asserire che l’enunciato gödeliano sia vero.

Lucas, quindi, dovrebbe mostrare dapprima la “coerenza della mente umana” per dimostrare che essa può produrre l’enunciato gödeliano e “vederne” la verità. Ma cosa sia “la coerenza della mente umana” non è ben chiaro, e di certo essa non può essere semplicemente vista come un sistema in grado di esprimere una certa quantità di aritmetica: una simile definizione della mente sembra davvero troppo riduttiva.

Secondo alcuni studiosi è possibile formulare un’obiezione al test di Turing, o meglio, al fatto che questo sia in grado di provare che un computer può essere intelligente e vincere al gioco dell’imitazione, prendendo le mosse da uno dei risultati cruciali della logica matematica del Novecento, ossia i teoremi di incompletezza di Gödel. Negli anni sono state avanzate diverse obiezioni di tipo “matematico” al test di Turing. Tuttavia, ognuna di queste cerca di mostrare, attraverso l’incompletezza, un carattere non totalmente meccanico della mente umana: in parole povere, ogni argomento matematico cerca di produrre una contraddizione nell’idea che la mente sia meccanizzabile.

Il primo teorema di incompletezza asserisce che:

(G1) Ogni sistema formale coerente S in cui una certa quantità di aritmetica elementare può essere espressa è incompleto riguardo a certi enunciati dell’aritmetica elementare: vi sono degli enunciati in S che non possono né essere dimostrati né essere refutati.

Sostanzialmente, G1 asserisce che, all’interno di un sistema formale S capace di esprimere una certa quantità di aritmetica, esiste un enunciato G_S autoreferenziale che dice di sé “io non sono dimostrabile”. Una dimostrazione attraverso i concetti semantici è data da Gödel nel primo paragrafo de suo articolo del 1931 (K. Gödel, Ber formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, in “Monatshefte für Mathematik und Physik”, 38 [1931], pp. 173–198.):

- Supponiamo che il sistema formale S in grado di esprimere una certa quantità di aritmetica sia “corretto”, ossia che dimostri soltanto formule vere;

- e supponiamo che nel linguaggio formale di S si possa esprimere l’enunciato autoreferenziale G_S che asserisce di essere indimostrabile nel sistema S, ossia:

(G_S) G_S non è dimostrabile in S.

- Ora possiamo chiederci se l’enunciato G_S che dice “io non sono dimostrabile in S” lo è davvero oppure no.

1. Se si suppone che G_S è dimostrabile, allora esso, in base a ciò che dice di sé stesso, è falso, dato che sosteneva di “non essere dimostrabile”. Questo implica che il sistema S non è un sistema corretto, dato che dimostra un enunciato falso.

2. Se si suppone che G_S non è dimostrabile, allora esso asserisce qualcosa di vero; ma allora S sarebbe un sistema semanticamente incompleto, dato che esiste un enunciato vero che S non è in grado di dimostrare.

Muovendo da questa dimostrazione, il filosofo inglese J.R. Lucas, nel suo articolo del 1961 Minds, Machines and Gödel (John R. Lucas, Minds, Machines and Gödel, in “Philosophy”, XXXVI, 1961, pp. 112-127), sostiene che il teorema di Gödel può essere usato per confutare l’idea che sia possibile costruire macchine che mostrino di avere le medesime capacità intellettuali degli esseri umani. Secondo Lucas, i risultati di Gödel possono applicarsi alle macchine, dato che essere una macchina consiste essenzialmente nell’essere un’esemplificazione concreta di un sistema formale. Pertanto, ne segue che, data una macchina in grado di operare con della semplice aritmetica, esiste una formula che essa è incapace di “produrre come vera”, ossia dimostrarla – perché appunto verità e dimostrabilità in un contesto algoritmico come quello di una macchina sono reciprocamente implicati –, ma che la mente umana è capace di riconoscere come vera.

L’argomento di Lucas può essere così riassunto:

- Si supponga per assurdo che esiste una macchina di Turing (MT) che abbia tutte le capacità intellettuali dell’uomo;

- MT deve essere in grado di produrre tutti i teoremi del sistema formale S che contiene l’aritmetica;

- MT non è tuttavia in grado di produrre come vera la formula G_S che dice di sé stessa “io non sono dimostrabile”;

- L’uomo invece, al contrario di MT, ha la capacità intellettuale di vedere che G_S è vera;

dunque

- MT non riproduce tutte le capacità intellettuali dell’uomo.

Questo argomento dimostra, secondo Lucas, che la mente umana è superiore a quella di un computer nel senso che le capacità intellettuali di cui essa gode non possono essere totalmente riprodotte, ricreate e simulate attraverso l’uso di algoritmi e descritte solo mediante procedure meccaniche.

Un argomento diverso da quello di Lucas ma che giunge sostanzialmente alle stesse conclusioni è quello dato da Roger Penrose, fisico e matematico, nei suoi testi La mente nuova dell’imperatore (Rizzoli, 2000) e Ombre della mente (Rizzoli, 1996).

È possibile fornire anche una versione generale degli argomenti matematici contro l’idea che la mente sia meccanizzabile.

Definiamo la tesi per la quale esistono “classi di enunciati veri che possono essere espressi ma non dimostrati all’interno del sistema” come “vincolo di Lucas-Penrose”. Un sistema soggetto al vincolo di Lucas-Penrose è un sistema in grado di esprimere una proposizione g (o una classe proposizioni) ma che non è in grado di dimostrarla. Ora, nel contesto del test di Turing, “essere soggetti al vincolo di Lucas-Penrose” può essere pensato come qualcosa che implica l’esistenza di domande per le quali non è possibile fornire una risposta.

La versione generale dell’argomento matematico è la seguente:

- Sia C un computer;

- C è soggetto al vincolo di Lucas-Penrose, pertanto esiste una domanda g per la quale C non può fornire una risposta;

- Se un ente E non è soggetto al vincolo di Lucas-Penrose allora non vi sono domande alle quali E non è in grado di rispondere;

- L’intelletto umano non è soggetto al vincolo di Lucas-Penrose;

- La domanda g ha pertanto una riposta per l’intelletto umano;

- Un essere umano che, durante il test di Turing, ponga la domanda g sarà allora in grado di determinare se il suo interlocutore è una macchina o un altro essere umano;

quindi

- una macchina potrebbe sempre fallire il test di Turing.

Matteo D'Angelo, 14 luglio 2016